沃尔什学术研究

1923年，美国数学家沃尔什引入了沃尔什(Walsh)函数系，沃尔什函数系是函数值仅取“+1”、“-1”两值的非正弦型的标准正交完备函数系。1931年，另一个美国数学家R．E．A．C．Paley提出沃尔什函数的全部各种定义，他确定沃尔什函数为Rademacher函数的有限乘积，并且由此得到一个形式不同的沃尔什函数。由于指标是是用二进制形式表示的，所以，称此函数为二进制顺序的沃尔什函数或称为Walsh-Paley函数。1964年，德国数学家H．F．Harmuth指出：沃尔什函数是在正交区间内按照变号数是，给出递归形式的定义，所以，称此函数为列率(sequency)顺序沃尔什函数。又由于波兰数学家S．Kaczmarz的重要研究，所以，此函数被称为Walsh-Kaczmarz函数。Paley证明了Walsh-Paley函数系等同到Walsh-Kaczmarz函数系。到了1958年和1967年，S．Tani和H．Pichler首先给出Walsh-Paley函数系映射到Walsh-Kaczmarz函数系的证明。1973年，K．Hermann对逆映射进行了详细的论述。英国数学家J．J．Sylvester在1867年提出了关于矩阵的一个古老的研究结果。1893年，法国数学家M．J．Hadamard将此结果加以推广，而且矩阵元素仅取+1，-1两值，这就是著名的Hadamard矩阵。在特殊情况下，此矩阵直接引出沃尔什函数。由于在运算中，利用了Kronecker乘积运算法则，因此，Hadamard矩阵也称为Kronecker矩阵，或称为Kroneeker顺序WalshHadamard矩阵。在1933年，Paley曾对此矩阵与二进制顺序沃尔什函数之间的某些关系进行了讨论。到了60年代，特别在最近十几年来，沃尔什函数的理论和应用上，引起了人们越来越多的兴趣。在1970年前后，开始了许多深入和广泛的研究工作。1970年3—4月间，在美国海军研究实验室第一次召开了国际性的沃尔什函数理论和应用的讨论会，并发表了第一批研究工作的报告。一直到1974年，每年国际上都举行了有关沃尔什函数的理论及应用的各种讨论会，并且发表了论文集。沃尔什函数是由周期的正交方波函数所组成的集合。这些函数的跳跃不连续点至多是可数无穷多个，而且这些函数在正交区间内分段取常数值。沃尔什函数在定义范围内仅取+1和-1两值。沃尔什函数系是非正弦函数系，但它有与三角函数系相类似的性质，沃尔什函数也分为奇函数和偶函数。Harmuth提出相应于正、余弦函数的是“sal”和“cal”，它也有类似于Fourier级数和Fourier变换的性质，等等。在沃尔什函数的理论研究工作中，人们发现沃尔什函数具有正、余弦函数所不具备的特性。例如，两个正、余弦函数之积是两个正、余弦函数之和，而两个沃尔什函数之积却只用一个沃尔什函数来表示，这在应用上有很大优越性。

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