施瓦茨擅长领域

分析学

1869年，施瓦茨和克里斯托弗发表了关于保形映射的某些特殊结果的定理。这个映射被称为施瓦茨—克里斯托弗变换，1870年，施瓦茨与诺伊曼为黎曼映射定理寻求一个更完美的证明时证明了，一个单连通平面区域可以映射到一个圆，并强调了这一保形映射的重要性。1873年，施瓦茨首次严格证明了二阶偏导中两个混合偏导数存在及存在的条件。在《纪念文集》（Festschrift,1885）中论证了所谓范数的“施瓦茨不等式”，该式已成为函数论的重要工具。

微分方程

1873年，施瓦茨在研究二阶线性微分方程的解的结构时，引入了微分方程的单值群的概念，这是一类线性变换群。这一工作为自守函数的研究创造了条件。1870年，施瓦茨在魏尔斯特拉斯提示下，就边界曲线为普遍假设的情形，采用所谓交替法，第一个证明了二维狄利克雷问题解的存在性定理。

几何学

1884年，施瓦茨对三维空间的等周问题，提供了严密的解法。1880年，施瓦茨在给埃尔米特的信中指出，当时教科书中的曲面面积概念有问题，并举出一个著名的例子。另外，施瓦茨与魏尔斯特拉斯一道深入地研究了微分几何中极小曲面问题，他们认为这个问题与复变函数、变分学、拓扑学都有很深的关系。施瓦茨是继克罗内克、库默尔和魏尔斯特拉斯等人之后德国数学界的领导人之一，对20世纪初期的数学发展做出了重要贡献。

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